考虑枚举集合 $S_1, S_2, S_3 \subseteq \{0, 1, \dots, N-1\}$，要求 $S_1 \cap S_2 = S_2 \cap S_3 = S_3 \cap S_1 = \varnothing$。于是要求 $$ A(S_1 \cup S_3) + A(S_2 \cup S_3) < A(S_3) + A(S_1 \cup S_2 \cup S_3) $$

移项，有 $$ A(S_2 \cup S_3) - A(S_1 \cup S_2 \cup S_3) < A(S_3) - A(S_1 \cup S_3) $$

令 $F(S) = A(S \cup S_3) - A(S_1 \cup S \cup S_3)$，则我们要求存在 $S$ 使得 $F(S) < F(\varnothing)$。

假设存在这样一个 $S$，令 $k = |S|$，定义 $S_{1,\dots,i}$ 表示 $S$ 的前 $i$ 个元素构成的集合。则我们一定能找到一个 $i$ 使得 $F(S_i) < F(S_{i-1})$（否则 $F(S) = F(S_k) \ge F(\varnothing)$），也就是说 $$ A(S_i \cup S_3) - A(S_1 \cup S_i \cup S_3) < A(S_{i-1} \cup S_3) - A(S_1 \cup S_{i-1} \cup S_3) $$

我们把 $S_{i-1}$ 和 $S_3$ 并起来，就证明了 $S_2$ 只需要取大小为 $1$ 的集合。类似地，$S_1$ 也只需要大小为 $1$ 的集合。暴力即可。时间复杂度 $O(N^2 2^N)$。