注意到在区间扩张的过程当中，区间 or 是递增的，区间 and 是递减的，因此 $S(B)$ 是递减的。

最大化

问题相当于分成 $M$ 段，并选择 $K$ 段作为关键段，最大化关键段分数的最小值。如果 $K< M$，则答案一定为 $1$，因为我们可以将 $A_1,\ldots,A_K$ 单独分成一段，然后将后缀分成 $M-K$ 段。

如果 $K=M$，那么可以二分答案，每次贪心分尽可能长的段。这里二分可以使用分数二分，或者在所有可能的分数中二分，因为每个左端点只有 $O(\log V)$ 种分数，总共 $O(N\log V)$。

最小化

令 $K\gets M+1-K$，则问题相当于分成 $M$ 段，并选择 $K$ 段作为关键段，最小化关键段分数的最大值。根据单调性，一定存在最优解满足非关键段的长度都为 $1$，我们只需要选择 $K$ 个不相交的段，使得总长度不超过 $N-(M-K)$ 即可。

二分答案，问题变为选择 $K$ 个不相交的关键段，最小化总长度。我们把这个问题看成分成 $K$ 段，每一段的代价是段内最短的关键段长度，可以证明这个代价是 Monge 的。因此我们可以 wqs 二分，二分后内部是 $O(N)$ 的 DP。

时间复杂度 $O(N\log N(\log N+\log V))$。