如果我们将 $i-j\equiv 0\mod 3$ 的格子涂黑，则每一行和每一列的黑格数量就是 $N$ 或 $N+1$，我们考虑在这个基础上调整一下使得白格联通，且黑格数量满足要求。

当 $N$ 是偶数时，可以先考虑 $N=2,4$ 的解分别如下：

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也就是我们先将副对角线也涂黑，和副对角线相邻的格子涂白，此时所有 $i\equiv 1\mod 3$ 的行和列有 $N+1$ 个黑格，其余行列有 $N$ 个黑格。要满足黑格的数量，只需要把副对角线上除首尾以外的满足 $i\equiv 1\mod 3$ 的格子涂白，但这会导致黑格和边界不连通。我们改为把副对角线上满足 $i\equiv 4\mod 6$ 的格子以及 $i+j=3N-10$ 且 $i\equiv 1\mod 6$ 的格子涂白即可。

当 $N$ 是偶数时，上面的构造就不成立了，我们考虑递归构造。事实上 $N$ 是偶数的情况也可以看作是递归构造，我们参考 $N$ 是偶数的情况，可以得到以下的构造方式：

• 如果有 $N$ 的解，满足倒数第 $7$ 行和最后一行是 $N+1$ 个黑格，并且这两行的第一个格子都是黑格，并且第一列和最后一行的黑格都在 $i\equiv 1\mod 3$ 的位置，我们在这个基础上向左和向下增加 $6$ 行和 $6$ 列，$i-j\equiv 0\mod 3$ 的格子用斜线铺满，其中左下角的部分用 $N=2$ 的解填充，最后将倒数第 $13$ 行的第一个格子涂白，就得到了一个 $N+2$ 的解且满足所有上述条件。

我们只需要找到一个合适的 $N=3$ 的解，例如：

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