注意到删掉一个点 $v$ 相当于让通过 $v$ 间接连通的点直接相连。因此最终的图当中存在边 $(u,v)$ 当且仅当 $u,v$ 都没有被删，且存在一条 $u$ 到 $v$ 路径上的点（不包括 $u,v$）都被删掉了。

而因为原图是一棵树，因此只需要计算一下点对距离的分布，即 $f_i$ 表示距离为 $i$ 的点对数量，则答案为 $$ \mathrm{ans}_k=\sum_{i=1}^{n-1}f_i\cdot {n-i-1\choose k-i+1}\cdot k! $$ 最后一次卷积即可。

根据计算点对距离分布的复杂度，总复杂度为 $O(n\log n)$ 或 $O(n\log^2n)$。